题目内容
【题目】如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),C(﹣1,﹣3);(2)证明见解析;(3)(
,0)或(
,0)或(﹣1,0)或(5,0).
【解析】
(1)∵顶点坐标为(1,1),∴设抛物线解析式为,又抛物线过原点,∴
,解得a=﹣1,∴抛物线解析式为
,即
,联立抛物线和直线解析式可得:
,解得:
或
,∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);
(2)如图,分别过A、C两点作x轴的垂线,交x轴于点D、E两点,则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,∴△ABC是直角三角形;
(3)假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,),∴ON=|x|,MN=
,由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分别求得AB=
,BC=
,∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°,∴当△ABC和△MNO相似时,有或
;
①当时,则有
,即
,∵当x=0时M、O、N不能构成三角形,∴x≠0,∴
,即
,解得x=
或x=
,此时N点坐标为(
,0)或(
,0);
②当时,则有
,即
,∴|﹣x+2|=3,即﹣x+2=±3,解得x=5或x=﹣1,此时N点坐标为(﹣1,0)或(5,0);
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(,0)或(
,0)或(﹣1,0)或(5,0).

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