题目内容
【题目】如图,已知抛物线经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值;
(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.
①求S与m的函数关系式;
②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标; 若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)∵抛物线经过A(-3,0),B(1,0),
∴可设抛物线交点式为。
又∵抛物线经过C(0,3),∴。
∴抛物线的解析式为:,即。
(2)∵△PBC的周长为:PB+PC+BC,且BC是定值。
∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小。
∵点A、点B关于对称轴I对称,
∴连接AC交l于点P,即点P为所求的点。
∵AP=BP,∴△PBC的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC。
∵A(-3,0),B(1,0),C(0,3),∴AC=3,BC=。
∴△PBC的周长最小是:。
(3)①∵抛物线顶点D的坐标为(﹣1,4),A(﹣3,0),
∴直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E的横坐标为m,∴E(m,2m+6),F(m,)
∴。
∴。
∴S与m的函数关系式为。
②,
∴当m=﹣2时,S最大,最大值为1,此时点E的坐标为(﹣2,2)。
【解析】(1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定二次函数的解析式即可。
(2)根据BC是定值,得到当PB+PC最小时,△PBC的周长最小,根据点的坐标求得相应线段的长即可。
(3)设点E的横坐标为m,表示出E(m,2m+6),F(m,),最后表示出EF的长,从而表示出S于m的函数关系,然后求二次函数的最值即可。