Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝45°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值？

（3）在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）y＝x2﹣x+1；；当x＝时，y有最小值，最小值为；

（3）在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，AE的长为2﹣或．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得：∠B＝∠C＝∠ADE＝45°，再根据三角形外角的性质可得：∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，从而得出∠BAD＝∠CDE，最后根据有两组对应角相等的两个三角形相似即可证出△ABD∽△DCE；

（2）由△ABD∽△DCE，可得：＝，然后分别用x和y表示出CD、EC，代入到比例式中即可求出y关于x的函数关系式，再根据点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），即可求出x的取值范围，最后根据二次函数求最值即可；

（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论：当AD＝DE时，可得：△ABD≌△DCE，从而可得BD＝CE，根据此等式列方程即可求出AE；当AE＝DE时，可得：△ADE为等腰直角三角形，即DE⊥AC，由相似的性质得AD⊥BC，根据三线合一可得D是BC中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=DC，从而得出：E也是AC的中点,即可求出AE; 当AD＝AE时，因为∠ADE=45°，可得∠DAE＝90°，此时D与B重合，不符合题意.

（1）证明：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC

∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°

∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE

∴∠BAD＝∠CDE

∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE，

∴＝

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，

∴BC＝，CD＝﹣x，EC＝1﹣y，

∴＝，即y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，

∵点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合）

∴0＜BD＜BC

即

当x＝时，y有最小值，最小值为；

（3）当AD＝DE时，△ABD≌△DCE，

∴BD＝CE，

∴x＝1﹣y，即x﹣x2＝x，

∵x≠0，

∴等式左右两边同时除以x得：x＝﹣1，将x＝﹣1代入y= x2﹣x+1中，

∴AE＝y＝2﹣，

当AE＝DE时，

∵∠ADE=45°

∴△ADE为等腰直角三角形

∴DE⊥AC，

∴AD⊥BC

∴D是BC中点，

∴AD=DC

∴E也是AC的中点，

所以，AE＝；

当AD＝AE时，

∵∠ADE=45°

∴∠DAE＝90°，D与B重合，不符合题意；

综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，

AE的长为2﹣或．