Question

【题目】如图已知：MN为⊙O的直径，点E为弧MC上一点，连接EN交CH于点F，CH是⊙O的一条弦，CH⊥MN于点K．

（1）如图1，连接OE，求证：∠EON＝2∠EFC；

（2）如图2，连接OC，OC与NE交于点G，若MP∥EN，MP＝2HK，求证：FH＝FE；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接EH交OC与ON于点R，T，连接PH，若RT：RE＝1：5，PH＝2，求OR的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）由于MN是直径，于是连接EM，然后说明∠EMO＝∠EFC即可；

（2）连接ME、EH、PN、EC、CN、HN，先证明△MPN≌△ENM，再证明∠CHE＝∠NEH即可；

（3）由已知条件可以推出∠EOC＝∠CON＝∠HON，进而推出OR平分∠EOT，EG＝HT，OR＝OT，根据角平分线比例定理OT：OE＝RT：RE＝1：5，故设OT＝OR＝x，RT＝y，则MT、TN可用x表示出来，TH、TE可用y表示出来，根据相交弦定理可以得出x与y关系式，将y用x表示出来，EH也就用x表示出来了，同时注意到PE是直径，且PE也用x表示出来，PH已知，利用勾股定理列方程即可解出x．

解：（1）如图1，连接EM，

∵MN为圆O的直径，

∴∠MEN＝90°，

∵CH⊥MN于K，

∴∠MKF＝90°，

∴∠MEF+∠MKF＝180°，

∴∠EFC＝∠EMO，

∵OE＝OM，

∴∠EON＝2∠EMO＝2∠EFC；

（2）如图2，连接ME、EH、PN、EC、CN、HN，

∵MN为圆O直径，

∴∠MPN＝∠MEN＝90°，

∵MP∥EN，

∴∠PMN＝∠ENM，

∴△MPN≌△ENM（AAS），

∴MP＝EN，

∵MN⊥CH于K，

∴KH＝CK＝CH，HN＝CN

∴CH＝2KH，∠HEN＝∠CEN＝∠NHC，

∵MP＝2KH，

∴CH＝MP＝EN，

∴∠HEC＝∠NHE，

∴∠HEN＝∠EHC，

∴FH＝FE；

（3）如图3，连接EM、PN、PE、CE、CN、HN、OH，

∵PM＝EN且MP∥EN，∠MPN＝90°，

∴四边形MENP是矩形，

∴PE为圆O直径，

∴∠PHE＝∠PNE＝90°，

∵∠ENC＝∠EHC＝∠HEN＝∠HCN＝∠NHC＝∠CEN，

∴CE＝CN，

∵OE＝ON，

∴OC垂直平分EN，

∴∠EOC＝∠NOC，

由角平分线比例定理可知： ，

∴设OT＝x，则ON＝OM＝OP＝OC＝OE＝5x，

∴MT＝6x，TN＝4x，

∵CE＝CN＝HN，

∴∠EOR＝∠HOT，

∵OH＝OE，

∴∠OEH＝∠OHE，

∴△OER≌△OHT（ASA），

∴OR＝OT＝x，TH＝RE，

设RT＝y，则ER＝HT＝5y，ET＝6y，

由相交弦定理有：MTTN＝ETTH，

∴6x4x＝6y5y，

∴4x2＝5y2，

∴，

∴y＝x，

∴EH＝ER+RT+TH＝11y＝x，

在Rt△PHE中：PE2＝PH2+EH2，

∴100x2＝8+，

∴x2＝，

∴x取正数，则x＝，

∴OR＝．