Question

（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，
则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；
（2）在△ABC中， AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．
①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是__________________；
②如图3，当∠BAC=，(0°<<90°)，∠DAE=时，BD、DE、EC应满足的等量关系是____________________．【参考：】

Answer 1

（1）证明见解析；（2）①DE²=BD²+BD•EC+EC²；②.

试题分析：（1）如图1，把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'，连接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM=∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN=M′N，由勾股定理就可以得出结论MN²=DN²+BM².
（2）①如图2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延长线于点G，由三角函数值就可以得出CG=CF，GF=CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论.
②如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF，连接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延长线于点G，由三角函数值就可以得出CG=cosa•CF，GF=sina•CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论.
试题解析：（1）如图1，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠ABM=∠ADN=45°．
把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'．连结NM'．
∴△ABM≌△ADM′.∴DM'=BM，AM'=AM，∠ADM'=∠ABM=45°，∠DAM'=∠BAM．
∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°，即∠NDM′=90°．
∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°.∴∠DAM′+∠DAF=45°，即∠M′AN=45°.∴∠M'AN=∠MAN．
在△AMN和△AM′N中，AM＝AM′，∠MAN＝∠M′AN，AN＝AN，
∴△AMN≌△AM′N（SAS）.∴M'N=MN．
∵∠NDM′=90°，∴M'N²=DN²+DM'²，
∴MN²=DN²+BM².

（2）①BD、DE、EC关系式为：DE²=BD²+BD•EC+EC²．理由如下：
如图2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF，作FG⊥EC的延长线于点G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°.∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形.∴∠B=∠ACB=60°．∴∠ACF=60°.
∴∠ACF+∠ACB=60°+60°=120°，即∠ECF=120°.∴∠FCG=60°.∴∠CFG=30°.
∴CG=CF.
在Rt△CFG中，由勾股定理，得FG=CF．
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°.∴∠CAF+∠EAC=30°，即∠EAF=30°．∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中，AD＝AE，∠DAE＝∠FAE，∠AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF²=EG²+FG²，
∴.

②BD、DE、EC等量关系是：．理由如下：
把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF，连接EF．作FG⊥EC的延长线于点G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°.
∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB+∠ACF+∠FCG=180°，∴∠BAC=∠FCG=α.
∴∠ACF=60°.
∴CG=cosα•CF，FG=sinα•CF．
∵∠DAE=α，∴∠BAD+∠CAE=α．
∴∠CAF+∠CAE=α，即∠EAF=α.
∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中，AD＝AE，∠DAE＝∠FAE，∠AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF²=EG²+FG²，
∴

∵，
∴．