题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.

(1)填空:点A坐标为;抛物线的解析式为
(2)在图①中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当t为何值时,△PCQ为直角三角形?
(3)在图②中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?

【答案】
(1)(1,4),y=﹣(x﹣1)2+4
(2)解:依题意有:OC=3,OE=4,

∴CE= = =5,

当∠QPC=90°时,

∵cos∠QCP= =

=

解得t=

当∠PQC=90°时,

∵cos∠QCP= =

=

解得t=

∴当t= 或t= 时,△PCQ为直角三角形


(3)解:∵A(1,4),C(3,0),

设直线AC的解析式为y=kx+b,则

解得

故直线AC的解析式为y=﹣2x+6.

∵P(1,4﹣t),将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+

∴Q点的横坐标为1+

将x=1+ 代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣

∴Q点的纵坐标为4﹣

∴QF=(4﹣ )﹣(4﹣t)=t﹣

∴SACQ=SAFQ+SCFQ

= FQAG+ FQDG

= FQ(AG+DG)

= FQAD

= ×2(t﹣

=﹣ +t

=﹣ (t2+4﹣4t﹣4)

=﹣ (t﹣2)2+1,

∴当t=2时,△ACQ的面积最大,最大值是1


【解析】解:(1)∵抛物线的对称轴为x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4),点A在DE上,

∴点A坐标为(1,4),

设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+4,

把C(3,0)代入抛物线的解析式,可得a(3﹣1)2+4=0,

解得a=﹣1.

故抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;

(1)由抛物线的对称轴为x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4),点A在DE上,得到点A坐标为(1,4),设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+4,把C(3,0)代入抛物线的解析式,求出a=﹣1,得到抛物线的解析式;(2)依题意有OC=3,OE=4,根据勾股定理CE=5,当∠QPC=90°时,cos∠QCP= PC: CQ = OC:CE,得到 =, 解得t=; 当∠PQC=90°时,由cos∠QCP= CQ: PC = OC: CE ,得到=,解得t=,当t= 或t= 时,△PCQ为直角三角形;(3)把A(1,4),C(3,0),代入直线AC的解析式y=kx+b,得到直线AC的解析式为y=﹣2x+6,由P(1,4﹣t),将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得到Q点的横坐标为1+,Q点的纵坐标为4﹣,得到QF=4﹣,所以SACQ=SAFQ+SCFQ,求出当t=2时,△ACQ的面积最大,最大值是1;此题是综合题,难度较大,计算和解方程时需认真仔细.

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