题目内容

【题目】某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC,其横截面如图所示,在图中建立的直角坐标系中,抛物线的解析式为y=﹣ +c且过顶点C(0,5)(长度单位:m)

(1)直接写出c的值;
(2)现因搞庆典活动,计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯,地毯的价格为20元/m2 , 求购买地毯需多少元?
(3)在拱桥加固维修时,搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H、G分别在抛物线的左右侧上),并铺设斜面EG.已知矩形EFGH的周长为27.5m,求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数.(精确到0.1°)

【答案】
(1)解:抛物线的解析式为y=﹣ +c,

∵点(0,5)在抛物线上

∴c=5;


(2)解:由(1)知,OC=5,

令y=0,即﹣ +5=0,解得x1=10,x2=﹣10;

∴地毯的总长度为:AB+2OC=20+2×5=30,

∴30×1.5×20=900

答:购买地毯需要900元


(3)解:可设G的坐标为(m,﹣ +5)其中m>0

则EF=2m,GF=﹣ +5,

由已知得:2(EF+GF)=27.5,

即2(2m﹣ +5)=27.5,

解得:m1=5,m2=35(不合题意,舍去),

把m1=5代入,﹣ +5=﹣ ×52+5=3.75,

∴点G的坐标是(5,3.75),

∴EF=10,GF=3.75,

在Rt△EFG中,tan∠GEF= = =0.375,

∴∠GEF≈20.6°.


【解析】(1)根据二次函数的实际应用,顶点C(0,5)在抛物线上,直接得到c=5;(2)由(1)知,OC=5,抛物线的值是0,得到一元二次方程﹣x2 +5=0,求出地毯的总长度为AB+2OC=30;(3)根据图像知2(EF+GF)=27.5,得到点G的坐标是(5,3.75),得到EF=10,GF=3.75,在Rt△EFG中,tan∠GEF= GF: EF = ,求出∠GEF≈20.6°;此题是综合题,难度较大,计算和解方程时需认真仔细.

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