Question

如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为

CF

的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．
（1）求证：AB是半圆O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：连接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，
∴∠3=∠4（1分）
∵∠4=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，（2分）
又∵E为

CF

的中点，
∴

EF

=

CE

，
∴∠6=∠7，（3分），
∵BC是直径，
∴∠E=90°，
∴∠5+∠6=90°，
又∵∠AHM=∠E=90°，
∴AD∥CE，
∴∠2=∠6=∠1，
∴∠3+∠7=90°，
又∵BC是直径，
∴AB是半圆O的切线；（4分）

（2）∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5（5分）
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2（6分）
∵∠6=∠7，∠E为公共角，
∴△CME∽△BCE，得

EC

EB

=

MC

CB

=

2

4

=

1

2

，（7分）
∴EB=2EC，在Rt△BCE中，BE²+CE²=BC²，
即BE²+（

BE

2

）²=4²，
解得BE=

8

5

5

．（8分）