Question

【题目】如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．

（1）求抛物线L的函数表达式；

（2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）抛物线对称轴上存在点M（1，﹣2）符合题意；（3）符合条件的点N的坐标是（2，﹣3）或（﹣2，5）．

【解析】

（1）运用待定系数法确定函数解析式即可；

（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴r=1代入即可求解；

（3）设N（x，x2﹣2x﹣3），根据三角形的面积公式解答即可.

（1）由A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA，得

OB＝OC＝3，

即B（3，0），C（0，﹣3），

把A，B，C的坐标代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，

∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小．

设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），

则，

解得：．

∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．

∵抛物线的对称轴为直线x＝1．

∴当x＝1时，y＝﹣2．

∴抛物线对称轴上存在点M（1，﹣2）符合题意；

（3）设N（x，x2﹣2x﹣3），

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB＝4，OC＝3．

∴S△ABC＝ABOC＝×4×3＝6．

∵S△ABC＝2S△OCN，

∴2×OC|x|＝6，即|x|＝2，

解得x＝2或x＝﹣2．

当x＝2时，x2﹣2x﹣3＝﹣3．此时N（2，﹣3）．

当x＝﹣2时，x2﹣2x﹣3＝5．此时N（﹣2，5）．

综上所述，符合条件的点N的坐标是（2，﹣3）或（﹣2，5）．