题目内容
【题目】如图1，在
中，
是
的直径，交
于点
，过点的直线交
于点
，交
的延长线于点
．
（1）求证：
是的切线；
（2）若
，试求
的长；
（3）如图2，点
是弧的中点，连结
，交于点
，若
，求
的值．
【答案】（1）证明见解析（2）
（3）
【解析】
（1）连接半径
，根据已知条件结合圆的基本性质可推出
，即
，即可得证结论；
（2）设
，根据已知条件列出关于
的方程、解方程即可得到圆心角
，再求得半径，然后利用弧长公式即可得解；
（3）由
，设
，然后根据已知条件利用圆的一些性质、勾股定理以及三角形的不同求法分别表示出
、
，再利用平行线的判定以及相似三角形的判定和性质即可求得结论．
解：（1） 连结，如图：
∵
是
的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
在圆上
∴
是的切线．
（2）设
∵
∴
∴
∵在
中，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
连结
，过作
于点
，如图：
∵点
是
的中点
∴
∴设
∴
∴
∴
∵在
中，
∴
∵，
∴
∴
∴
．
故答案是：（1）证明见解析（2）（3）
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