Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）
（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；
（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；
（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心， OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：把点A（2，0）、B（﹣4，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得， ，

∴b=﹣1．c=8，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8；

（2）解：如图1，

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，

﹣4+4b+c=0①，

∵抛物线的顶点为P，

∴y=﹣x2+2bx+c=﹣（x﹣b）2+b2+c，

∴P（b，b2+c），

∴PH=b2+c，AH=2﹣b，

在Rt△PHA中，tan∠OAP= ，

∴ =3②，

联立①②得， ，

∴ （不符合题意，舍）或 ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8；

（3）解：∵如图2，

抛物线y=﹣x2+2bx+c与y轴正半轴交于点C，

∴C（0，c）（c＞0），

∴ OC= c，

∵A（2，0），

∴OA=2，

∴AC= ，

∵⊙A与⊙C外切，

∴AC= c+2= ，

∴c=0（舍）或c= ，

把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，﹣4+4b+c=0，

∴b= ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+ x+ ．

【解析】（1）利用待定系数法即可确定出函数解析式；（2）用tan∠OAP=3建立一个b，c的关系，再结合点A得出的等式即可求出b，c进而得出函数关系式；（3）用两圆外切，半径之和等于AC建立方程结合点A代入建立的方程即可得出抛物线解析式．