Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若AD=2， ，求⊙O的半径R的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于C点，AB是⊙O的直径，∴OC⊥CD．

又∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2= ∠DAB．

又∠COB=2∠1=∠DAB，

∴AD∥OC，∴AD⊥CD

（2）解：连接BC，则∠ACB=90°，

在△ADC和△ACB中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB．

∴ =

∴R= = ．

【解析】（1）连接OC，由题意得OC⊥CD．又因为AC平分∠DAB，则∠1=∠2= ∠DAB．即可得出AD∥OC，则AD⊥CD；（2）连接BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则 = ，从而求得R．