题目内容

如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为(﹣1,0),对称轴为直线x=﹣2.

(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的另一点.若以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9.
求此抛物线的解析式,并指出顶点E的坐标;
(3)点P是(2)中抛物线对称轴上一动点,且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动.设点P运动的时间为t秒.
①当t为   秒时,△PAD的周长最小?当t为     秒时,△PAD是以AD为腰的等腰三角形?(结果保留根号)
②点P在运动过程中,是否存在一点P,使△PAD是以AD为斜边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) B(﹣3,0);
(2)y=x2+4x+3化为顶点式为y=(x+2)2﹣1,得E(﹣2,﹣1);
(3)①2;4或4﹣或4+;  ②存在一点P,使△PAD是以AD为斜边的直角三角形, P(﹣2,1)或(﹣2,2).

解析试题分析:(1)根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)先根据梯形ABCD的面积为9,可求c的值,再运用待定系数法可求抛物线的解析式,转化为顶点式可求顶点E的坐标;
(3)①根据轴对称﹣最短路线问题的求法可得△PAD的周长最小时t的值;根据等腰三角形的性质可分三种情况求得△PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值;
②先证明△APN∽△PDM,根据相似三角形的性质求得PN的值,从而得到点P的坐标.
试题解析:(1)由抛物线的轴对称性及A(﹣1,0),可得B(﹣3,0);
(2)设抛物线的对称轴交CD于点M,交AB于点N,
由题意可知AB∥CD,由抛物线的轴对称性可得CD=2DM.
∵MN∥y轴,AB∥CD,
∴四边形ODMN是矩形.
∴DM=ON=2,
∴CD=2×2=4.
∵A(﹣1,0),B(﹣3,0),
∴AB=2,
∵梯形ABCD的面积=(AB+CD)•OD=9,
∴OD=3,即c=3.
∴把A(﹣1,0),B(﹣3,0)代入y=ax2+bx+3得
解得
∴y=x2+4x+3.
将y=x2+4x+3化为顶点式为y=(x+2)2﹣1,得E(﹣2,﹣1);
(3)①当t为2秒时,△PAD的周长最小;当t为4或4﹣或4+秒时,△PAD是以AD为腰的等腰三角形.
故答案为:2;4或4﹣或4+
②存在.
∵∠APD=90°,∠PMD=∠PNA=90°,
∴∠DPM+∠APN=90°,∠DPM+∠PDM=90°,
∴∠PDM=∠APN,
∵∠PMD=∠ANP,
∴△APN∽△PDM,


∴PN2﹣3PN+2=0,
∴PN=1或PN=2.
∴P(﹣2,1)或(﹣2,2).
考点:二次函数综合题.

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