Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C，x₁，x₂是方程x²+4x﹣5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S_△ABC：S_△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

Answer 1

（1）1：1；（2）y=x²+x﹣．

解析试题分析：（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论；
（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式．
试题解析：（1）解方程x²+4x-5=0，得x=-5或x=1，
由于x₁＜x₂，则有x₁=-5，x₂=1，
∴A（-5，0），B（1，0）．
抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x-1）（a＞0），
∴对称轴为直线x=-2，顶点D的坐标为（-2，-9a），

令x=0，得y=-5a，
∴C点的坐标为（0，-5a）．
依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，
过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE-OC=4a．
S_△ACD=S_梯形ADEO-S_△CDE-S_△AOC
=（DE+OA）•OE-DE•CE-OA•OC=（2+5）•9a-×2×4a-×5×5a=15a，
而S_△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，
∴S_△ABC：S_△ACD=15a：15a=1：1；
（2）如解答图，过点D作DE⊥y轴于E
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²=DE²+CE²=4+16a²，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OA²+OC²=25+25a²，
设对称轴x=-2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²=AF²+DF²=9+81a²．
∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，
即（9+81a²）+（4+16a²）=25+25a²，化简得：a²=，
∵a＞0，
∴a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x²+x﹣．
考点: 二次函数综合题．