Question

图，正方形中，为的中点，于，交于点，交于点，连接、。有如下结论：①；②；③；④；⑤。其中正确的结论的个数为（ ）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

C

解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DAF=∠CDE=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF和△DCE中，
∴△ADF≌△DCE（SAS）；
故①正确；
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中
，
∴△ANF≌△ANE（SAS），
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN错误，
故②错误；
∴AF=DE，
∵E为AD的中点，
∴AF=AB=CD，
∵AB∥CD，
∴△DCN∽△FNA，
∴CD：AF=CN：AN=2：1，
∴CN=2AN，

故③正确；
连接CF，
设S_△ANF=a，
则S_△ACF=3a，S_△ADN=2a，
∴S_△ACB=6a，
∴S_{四边形CNFB}=5a，
∴S_△ADN：S_{四边形CNFB}=2：5，
故④正确．
⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，

根据②的结论F为AB中点，即AF=BF，
在△DAF与△GBF中，
，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
又∵∠ADF=∠DCE，∠ADF+∠CDM=90°，
∴∠DCE+∠CDM=90°，
∴∠DMC=∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故选项正确．
所以正确的有①③④⑤共4个．
故选C．