题目内容
【题目】
(1)如图1,点P是ABCD内的一点,分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH,垂足分别为E、F、H,猜想BE、CF、DH三者之间的关系,并证明;
(2)如图2,若点P在ABCD的外部,△APB的面积为18,△APD的面积为3,求△APC的面积;
(3)如图3,在(2)的条件下,增加条件:AB=BC,∠APC=ABC=90°,设AP、BP分别于CD相交于点M、N,当DM=CN时, =(请直接写出结论).
【答案】
(1)
解:过C作CG⊥BE于G,延长BC交AF于Q,
∵CF⊥AC,BE⊥AC,
∴四边形CGEF是矩形,
∴EG=CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAH=∠Q,
∵CG∥AF,
∴∠G=∠BCG,
∴∠DAH=∠BCG,
在△ADH与△BCG中, ,
∴△ADH≌△BCG,
∴DH=BG,
∴BE=BG+EG=DH+CF
(2)
解:分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH,垂足分别为E、F、H,
由(1)知BE=DH+CF,
∵S△ADP= APDH,S△ABP= APBE,S△ACP= APCF,
∴S△ADP+S△ACP= AP(DH+CF)= APBE=S△ABP,
∵△APB的面积为18,△APD的面积为3,
∴S△APC=15;
(3)
【解析】解:(3)过B作BE⊥AP于E,连接AC,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴∠DCA=∠CAB=45°,
在△ADM与△BCN中, ,
∴△ADM≌△BCN,
∴AM=BN,∠AMD=∠BNC,
∴∠PMN=∠PNM,
∴PM=PN,
∴AP=BP,
∵∠ADC=∠APC=90°,
∴A,C,P,D四点共圆,
∴∠DPA=∠ACD=45°,
在△PDM与△PCN中, ,
∴△PDM≌△PCN,
∴∠CPN=∠DPM=45°,
∴∠APB=45°,
∴△BPE是等腰直角三角形,
∴PB=PA= BE,
∵S△ABP= APBE= × BEBE=18,
∴BE=3 ,
∴AP=6 ,
∵APPC=30,
∴PC= ,
∵∠PDC=∠PCD=∠PAC,
∴tan∠PCM=tan∠PAC= = = ,
∴ = .
所以答案是: .
【考点精析】利用三角形的面积对题目进行判断即可得到答案,需要熟知三角形的面积=1/2×底×高.