Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，

∴ ，

∴ ，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5

（2）

解：如图1，令x=0，则y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴AB=6，BC=5 ，

要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有 或 ，

①当 时，

CD=AB=6，

∴D（0，1），

②当 时，

∴ ，

∴CD= ，

∴D（0， ），

即：D的坐标为（0，1）或（0， ）

（3）

解：设H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x轴，

∴点E的纵坐标为﹣5，

∵E在抛物线上，

∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，

∴E（4，﹣5），

∴CE=4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴直线BC的解析式为y=x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣ ）2+ ，

∵CE∥x轴，HF∥y轴，

∴CE⊥HF，

∴S四边形CHEF= CEHF=﹣2（t﹣ ）2+ ，

当t= 时，四边形CHEF的面积最大为

（4）

解：如图2，∵K为抛物线的顶点，

∴K（2，﹣9），

∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在抛物线上，

∴M（4，﹣5），

∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），

∴直线K'M'的解析式为y= x﹣ ，

∴P（ ，0），Q（0，﹣ ）．

【解析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和相似三角形的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题．