Question

【题目】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（1）求证：PO平分∠APC；
（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

又OA=OB，

∴PO平分∠APC

（2）证明：∵OA⊥AP，OB⊥BP，

∴∠CAP=∠OBP=90°，

∵∠C=30°，

∴∠APC=90°﹣∠C=90°﹣30°=60°，

∵PO平分∠APC，

∴∠OPC= ∠APC= =30°，

∴∠POB=90°﹣∠OPC=90°﹣30°=60°，

又OD=OB，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠OBD=60°，

∴∠DBP=∠OBP﹣∠OBD=90°﹣60°=30°，

∴∠DBP=∠C，

∴DB∥AC

【解析】（1）连接OB，根据角平分线性质定理的逆定理，即可解答；（2）先证明△ODB是等边三角形，得到∠OBD=60°，再由∠DBP=∠C，即可得到DB∥AC．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．