题目内容

(2013年四川资阳12分)如图,四边形ABCD是平行四边形,过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),与x轴的另一交点为E,连结CE,点A、B、D的坐标分别为(﹣2,0)、(3,0)、(0,4).

(1)求抛物线的解析式;
(2)已知抛物线的对称轴l交x轴于点F,交线段CD于点K,点M、N分别是直线l和x轴上的动点,连结MN,当线段MN恰好被BC垂直平分时,求点N的坐标;
(3)在满足(2)的条件下,过点M作一条直线,使之将四边形AECD的面积分为3:4的两部分,求出该直线的解析式.

解:(1)∵点A、B、D的坐标分别为(﹣2,0)、(3,0)、(0,4),且四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=5。∴点C的坐标为(5,4)。
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A、C、D,
,解得]
∴抛物线的解析式为
(2)连接BD交对称轴于G,

在Rt△OBD中,易求BD=5,
∴CD=BD,则∠DCB=∠DBC。
又∵∠DCB=∠CBE,∴∠DBC=∠CBE。
过G作GN⊥BC于H,交x轴于N,易证GH=HN,
∴点G与点M重合。
∴直线BD的解析式。 
根据抛物线可知对称轴方程为x=
则点M的坐标为(),即GF= MF=,BF=

又∵MN被BC垂直平分,∴BM=BN=。∴BN=OB+BN=3+
∴点N的坐标为(,0)。
(3)过点M作直线交x轴于点P1
易求四边形AECD的面积为28,四边形ABCD的面积为20,
由“四边形AECD的面积分为3:4”可知直线P1M必与线段CD相交,
设交点为Q1,四边形AP1Q1D的面积为S1,四边形P1ECQ1的面积为S2,点P1的坐标为(a,0),则S2=12。
若点P在对称轴的左侧,则P1F=﹣a,P1E=7﹣a,
由△MKQ1∽△MFP1,得。∴Q1K=5P1F=5(﹣a)。
∴CQ1=﹣5(﹣a)=5a﹣10。
。∴
根据P1,0),M()可求直线P1M的解析式为
若点P在对称轴的右侧,同理可得直线P2M的解析式为
综上所述,该直线的解析式为

解析

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