Question

如图，抛物线y=ax²+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．

（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax²+b上，
∴，解得：。
∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+1。
∴抛物线的对称轴为y轴。
∵点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（﹣1，0）。
（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：
，解得：。
∴过点A，C的直线解析式为y=﹣x+1。
∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y=﹣x+n。
∵点B（﹣1，0）在直线BD上，∴0=1+n，得n=﹣1。
∴直线BD的解析式为：y=﹣x﹣1。
将y=﹣x﹣1代入抛物线的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x²+1，解得：x₁=2，x₂=﹣1。
∵B点横坐标为﹣1，则D点横坐标为2，∴D点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3。
∴D点坐标为（2，﹣3）。
如图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，

则DN=3，AN=1，BN=3，
在Rt△BDN中，BN=DN=3，
由勾股定理得：BD=。
在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，
由勾股定理得：AD=。
又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，
由勾股定理得：AC=BC=。
∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=+++=+。
（3）存在。
假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：
（I）若△BPE∽△BDC，如图②所示，

则有，即，∴PE=3BE。
设OE=m（m＞0），
则E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，
∴点P的坐标为（﹣m，3﹣3m）。
∵点P在抛物线y=﹣x²+1上，
∴3﹣3m=﹣（﹣m）²+1，解得m=1或m=2。
当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去。
因此，此种情况不存在。
（II）若△EBP∽△BDC，如图③所示，

则有，即，∴BE=3PE。
设OE=m（m＞0），
则E（m，0），BE=1+m，，
∴点P的坐标为（m，）。
∵点P在抛物线y=﹣x²+1上，
∴，解得m=﹣1或m=。
∵m＞0，故m=﹣1舍去，∴m=。
点P的纵坐标为：。
∴点P的坐标为（，）。
综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（，）。

解析试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到。
（2）求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度。
（3）本问为存在型问题。先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论。