题目内容

如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).

(1)求抛物线的解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.

解:(1)∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,
∴可得A(1,0),B(0,﹣3),
把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得:,解得:
∴抛物线解析式为:y=x2+2x﹣3。
(2)令y=0得:0=x2+2x﹣3,解得:x1=1,x2=﹣3。
∴C点坐标为:(﹣3,0),AC=4,
∴SABC=AC×OB=×4×3=6。
(3)存在。
易得抛物线的对称轴为:x=﹣1,假设存在M(﹣1,m)满足题意,
根据勾股定理,得
分三种情况讨论:
①当AM=AB时,,解得:
∴M1(﹣1,),M2(﹣1,)。
②当BM=AB时,,解得:M3=0,M4=﹣6。
∴M3(﹣1,0),M4(﹣1,﹣6)。
③当AM=BM时,,解得:m=﹣1。
∴M5(﹣1,﹣1)。
综上所述,共存在五个点使△ABM为等腰三角形,坐标为M1(﹣1,),M2(﹣1,),M3(﹣1,0),M4(﹣1,﹣6),M5(﹣1,﹣1)。

解析试题分析:(1)根据直线解析式求出点A及点B的坐标,然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式,可得出b、c的值,求出抛物线解析式。
(2)由(1)求得的抛物线解析式,可求出点C的坐标,继而求出AC的长度,代入三角形的面积公式即可计算。
(3)根据点M在抛物线对称轴上,可设点M的坐标为(﹣1,m),分三种情况讨论,①AM=AB,②BM=AB,③AM=BM,求出m的值后即可得出答案。

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