题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Bx轴上,四边形OACB为平行四边形,且∠AOB=60°,反比例函数(k>0)在第一象限内过点A,且与BC交于点F.(1)若OA=10,求反比例函数的解析式;

(2)若FBC的中点,且SAOF=24,求OA长及点C坐标;

(3)在(2)的条件下,过点FEFOBOA于点E(如图2),若点P是直线EF上一个动点,连结,PA,PO,问是否存在点P,使得以P,A,O三点构成的三角形是直角三角形?若存在,请指出这样的P点有几个,并直接写出其中二个P点坐标;若不存在,请说明了理由.

【答案】(1)反比例函数解析式:y=(x>0);(2)C();(3)P1),P2),P3),P4

【解析】分析:(1)先过点A作AH⊥OB,根据∠AOB=60°,OA=10,求出AH和OH的值,从而得出A点坐标,再把它代入反比例函数中,求出k的值,即可求出反比例函数的解析式;
(2)先设OA=a(a>0),过点F作FM⊥x轴于M,根据∠AOB=60°,得出AHAH=a,OH=a,求出SAOH的值,根据SAOF=24,求出平行四边形AOBC的面积,根据F为BC的中点,求出SOBF=12,最后根据S平行四边形AOBC=OBAH,得出OB=AC=12,即可求出点C的坐标;
(3)分别根据当∠APO=90°时,在OA的两侧各有一点P,得出P1,P2;当∠PAO=90°时,求出P3;当∠POA=90°时,求出P4即可.

详解:

1)过点AAHOBH

∵∠AOB=60°OA=10

AH=OH=5,∴A点坐标为(5),根据题意得:

,可得:k=

∴反比例函数解析式:y=x0);

2)设OA=aa0),过点FFMx轴于M

∵∠AOB=60°

AH=aOH=

SAOH=

SAOF=

S平行四边形AOBC=

FBC的中点,

SOBF=

BF=a,∠FBM=AOB

FM=BM=a

SBMF=BM*FM=

SFOM=SOBF+SBMF=

∵点AF都在y=的图象上,

SAOH=k

a=

OA=8

AH=OH=

S平行四边形AOBC=OB*AH=

OB=

C);

3)存在三种情况:这样的P点有四个

当∠APO=90°时,在OA的两侧各有一点P,分别为:P1),P2),

当∠PAO=90°时,P3),

当∠POA=90°时,P4

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