题目内容

【题目】如图,在ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使∠FBC=∠DCE.
(1)求证:∠D=∠F;
(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使△BPC∽△CDP(保留作图的痕迹,不写作法).

【答案】
(1)证明:BF交AD于G,如图,

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AD∥BC,

∴∠FBC=∠FGE,

而∠FBC=∠DCE,

∴∠FGE=∠DCE,

∵∠GEF=∠DEC,

∴∠D=∠F


(2)解:如图,点P为所作.


【解析】(1)BF交AD于G,先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE,加上∠FBC=∠DCE,所以∠FGE=∠DCE,然后根据三角形内角和定理易得∠D=∠F;(2)分别作BC和BF的垂直平分线,它们相交于点O,然后以O为圆心,OC为半径作△BCF的外接圆⊙O,⊙O交AD于P,连结BP、CP,则根据圆周角定理得到∠F=∠BPC,而∠F=∠D,所以∠D=∠BPC,接着可证明∠PCD=∠APB=∠PBC,于是可判断△BPC∽△CDP.

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