Question

【题目】已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．

Answer 1

【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
∴∠AEB=∠CFD，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠DAF=∠DCF，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】首先证得△ABE≌△CDF，得到AB=CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形，然后证得AD=CD，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．
【考点精析】通过灵活运用菱形的判定方法，掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形即可以解答此题．