题目内容
【题目】如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y= 
x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．
（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？
【答案】
（1）
解：∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，
∴y= 
（﹣2）2=1，A点的坐标为（﹣2，1），
设直线的函数关系式为y=kx+b，
将（0，4），（﹣2，1）代入得 
，
解得 
，
∴直线y= 
x+4，
∵直线与抛物线相交，
∴ x+4= x2，
解得：x=﹣2或x=8，
当x=8时，y=16，
∴点B的坐标为（8，16）
（2）
解：如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，
∴AG2+BG2=AB2，
∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．
设点C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，
BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，
①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，
解得：m=﹣ 
；
②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320，
解得：m=0或m=6；
③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325，
解得：m=32；
∴点C的坐标为（﹣ ，0），（0，0），（6，0），（32，0）
（3）
解：设M（a， a2），如图2，
设MP与y轴交于点Q，
在Rt△MQN中，由勾股定理得MN= 
= a2+1，
又∵点P与点M纵坐标相同，
∴ 
+4= a2，
∴x= 
，
∴点P的横坐标为 ，
∴MP=a﹣ ，
∴MN+3PM= 
+1+3（a﹣ ）=﹣ a2+3a+9，
∴当a=﹣ 
=6，
又∵﹣2≤6≤8，
∴取到最大值18，
∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18
【解析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；（3）设M（a， a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN= a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x= ，从而得到MN+3PM=﹣ a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．
