Question

【题目】已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．

（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： ．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PAPB=kAB．

Answer 1

【答案】
（1）PA=PB
（2）

解：把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：

如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，

，

∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，

∴PD=PE，

又∵点P为线段CD的中点，

∴PC=PD，

∴PC=PE；

∵PD=PE，

∴∠CDE=∠PEB，

∵直线m∥n，

∴∠CDE=∠PCA，

∴∠PCA=∠PEB，

又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，

∴l∥CE，

∴AC=BE，

在△PAC和△PBE中，

∴△PAC≌△PBE，

∴PA=PB．

（3）

解：如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，

，

∵直线m∥n，

∴ ，

∴AP=PF，

∵∠APB=90°，

∴BP⊥AF，

又∵AP=PF，

∴BF=AB；

在△AEF和△BPF中，

∴△AEF∽△BPF，

∴ ，

∴AFBP=AEBF，

∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，

∴2PAPB=2k．AB，

∴PAPB=kAB．

（另外可以用面积证明：此时过P做m、n的垂线分别交于G、S两点，GP=k，∠PAm=∠PFE=∠PAB，AP为∠mAB的角平分线，角平分线上的P点到角两边的距离相等，所以h=k，由此即可解决问题，这种方法比较简单）

【解析】解：（1）∵l⊥n，
∴BC⊥BD，
∴三角形CBD是直角三角形，
又∵点P为线段CD的中点，
∴PA=PB．（2）
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的性质和相似三角形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）即可以解答此题．