Question

【题目】已知抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．

（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；
（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2 ， 此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0），

∴解得，

∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+x+，

∵y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+2，

∴顶点C的坐标为（1，2）；

（2）

解：如图1，作CH⊥x轴于H，

∵A（﹣1，0），C（1，2），

∴AH=CH=2，

∴∠CAB=∠ACH=45°，

∴直线AC的解析式为y=x+1，

∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∴∠DEF=∠ACH，

∴EF∥y轴，

∵DE=AC=2，

∴EF=4，

设F（m，﹣m2+m+），则E（m，m+1），

∴（m+1）﹣（﹣m2+m+）=4，

解得m=±3，

∴F（﹣3，﹣6）；

（3）

解：①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；

如图2，

∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BC，

∵DF=BC=AC，

∴四边形DFBC是矩形，

作EG⊥AC，交BF于G，

∴EG=BC=AC=2，

∵EN⊥EM，

∴∠MEN=90°，

∵∠CEG=90°，

∴∠CEM=∠NEG，

∴△ENG∽△EMC，

∴=，

∵F（﹣3，﹣6），EF=4，

∴E（﹣3，﹣2），

∵C（1，2），

∴EC==4，

∴==2，

∴tan∠ENM==2；

∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化；

②点P经过的路径是线段P1P2，如图3，

∵四边形BCEG是矩形，GP2=CP2，

∴EP2=BP2，

∵△EGN∽△ECB，

∴=，

∵EC=4，EG=BC=2，

∴EB=2，

∴=，

∴EN=，

∵P1P2是△BEN的中位线，

∴P1P2=EN=；

∴点M到达点C时，点P经过的路线长为．

【解析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1，根据题意求得EF=4，求得EF∥y轴，设F（m，﹣m2+m+），则E（m，m+1），从而得出（m+1）﹣（﹣m2+m+）=4，解方程即可求得F的坐标；
（3）①先求得四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根据△EGN∽△EMC，对应边成比例即可求得tan∠ENM==2；
②根据勾股定理和三角形相似求得EN=，然后根据三角形中位线定理即可求得．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和确定一次函数的表达式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．