Question

7．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
（1）试说明OE=OF；
（2）如图21，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 根据正方形对角线互相垂直平分的性质可以证明OA=OB，（1）求证∠1=∠2，进而证明Rt△BOE≌Rt△AOF，即可得OE=OF．（2）求证∠E=∠F，进而证明Rt△AOF≌Rt△BOE，根据全等三角形对应边相等的性质即可得OE=OF．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠BOE=∠AOF=90°，
OB=OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF，
∴OE=OF；
（2）OE=OF成立；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF，
∴OE=OF．

点评 本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△AOF≌Rt△BOE是解题的关键．