Question

15．已知E为$\widehat{BA}$的中点，AD=AC，EC⊥AD，AD=AC=1，求AB的长．

Answer 1

分析 作EF⊥AB于F，由已知得出∠EBD=∠EDB，EB=ED，由圆周角定理得出∠EAB=∠EDB，∠EAC=∠EBD，得出∠EAB=∠EAC，由AAS证明△EFA≌△ECA，得出AF=AC=1，EF=EC，由HL证明Rt△EFB≌Rt△ECD，得出BF=CD=2，即可得出AB=3．

解答 解：作EF⊥AB于F，如图所示：
∵E为$\widehat{BEA}$的中点，
∴$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，
∴∠EBD=∠EDB，EB=ED，
∵∠EAB=∠EDB，∠EAC=∠EBD，
∴∠EAB=∠EAC，
∵EC⊥DC，
∴∠EFA=∠ECA，
在△EFA和△ECA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠ECA}&{\;}\\{∠EAB=∠EAC}&{\;}\\{EA=EA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFA≌△ECA（AAS），
∴AF=AC=1，EF=EC，
在Rt△EFB和Rt△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{EB=ED}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFB≌Rt△ECD（HL），
∴BF=CD=2，
∴AB=3．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．