Question

【题目】如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，连结AC，CD．

（1）求证：∠PBH＝2∠HDC；

（2）若sin∠P＝，BH＝3，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）18

【解析】

（1）连接OC，因为PC切⊙O于点C，则OC⊥PC，因为过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，可得DH∥OC，进而得出∠PBH＝∠BOC＝2∠HDC；

（2）作OM⊥DH于H，设⊙O的半径为r，可得四边形OMHC为矩形，因为sin∠P＝，BH＝3，所以BP＝4，由△PHB∽△PCO，得，求得r＝12，可得出MH的长，从而求出BD的长．

解：（1）如图，连接OC，

∵PC切⊙O于点C，

∴OC⊥PC，

∵过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，

∴DH∥OC，

∴∠PBH＝∠BOC，

∵∠BOC＝2∠HDC，

∴∠PBH＝2∠HDC；

（2）如图，作OM⊥DH于H，设⊙O的半径为r，

∵∠OCH＝∠OMH＝∠CHM＝90°，

∴四边形OMHC为矩形，

∵sin∠P＝，BH＝3，

∴，

∴BP＝4，

∵OC∥DH，

∴△PHB∽△PCO，

∴，

∴，解得r＝12，

∴MH＝OC＝12，

∴MB＝MH﹣BH＝12﹣3＝9，

∴BD＝2MB＝18．