题目内容
【题目】如图,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DE上,点A,D,G在同一直线上,且AD=3,DE=1,连接AC,CG,AE,并延长AE交CG于点H.
(1)求sin∠EAC的值.
(2)求线段AH的长.
【答案】
(1)解:作EM⊥AC于M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,AD=DC=3,∠DCA=45°,
∴在RT△ADE中,∵∠ADE=90°,AD=3,DE=1,
∴AE= ,
在RT△EMC中,∵∠EMC=90°,∠ECM=45°,EC=2,
∴EM=CM= ,
∴在RT△AEM中,sin∠EAM= = .
(2)在△GDC和△EDA中,
,
∴△GDC≌△EDA,
∴∠GCD=∠EAD,GC=AE= ,
∵∠EHC=∠EDA=90°,
∴AH⊥GC,
∵S△AGC= AGDC= GCAH,
∴ ×4×3= × ×AH,
∴AH= .
【解析】(1)作EM⊥AC于M,根据sin∠EAM= 求出EM、AE即可解决问题.(2)先证明△GDC≌△EDA,得∠GCD=∠EAD,推出AH⊥GC,再根据S△AGC= AGDC= GCAH,即可解决问题.本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识,添加常用辅助线是解决问题的关键,学会用面积法求线段,属于中考常考题型.
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