题目内容

【题目】如图,ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2cm,设运动的时间为t秒.

(1)当t为何值时,CPABC的周长分成相等的两部分.

(2)当t为何值时,CPABC的面积分成相等的两部分,并求出此时CP的长;(说明:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

(3)当t为何值时,BCP为等腰三角形?

【答案】(1)6秒;(2)5cm;(3)当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时,BCP为等腰三角形.

【解析】分析:(1)先由勾股定理求出ABC的斜边AB=10cm,则ABC的周长为24cm,所以当CPABC的周长分成相等的两部分时,点PAB上,此时CA+AP=BP+BC=12cm,再根据时间=路程÷速度即可求解;

(2)根据中线的性质可知,点PAB中点时,CPABC的面积分成相等的两部分,进而求解即可;

(3)BCP为等腰三角形时,分三种情况进行讨论:①CP=CB;BC=BP;PB=PC.

详解:(1)ABC中,∵∠C=Rt,AC=8cm,BC=6cm,

AB=10cm,

∴△ABC的周长=8+6+10=24cm,

∴当CPABC的周长分成相等的两部分时,点PAB上,此时CA+AP=BP+BC=12cm,

t=12÷2=6(秒);

(2)当点PAB中点时,CPABC的面积分成相等的两部分,此时CA+AP=8+5=13(cm),t=13÷2=6.5(秒),

CP=AB=×10=5cm;

(3)BCP为等腰三角形时,分三种情况:

①如果CP=CB,那么点PAC上,CP=6cm,此时t=6÷2=3(秒);

如果CP=CB,那么点PAB上,CP=6cm,此时t=5.4(秒)

(点P还可以在AB上,此时,作AB边上的高CD,利用等面积法求得CD=4.8,再利用勾股定理求得DP=3.6,所以BP=7.2,AP=2.8,所以t=(8+2.8)÷2=5.4(秒))

②如果BC=BP,那么点PAB上,BP=6cm,CA+AP=8+10-6=12(cm),此时t=12÷2=6(秒);

③如果PB=PC,那么点PBC的垂直平分线与AB的交点处,即在AB的中点,此时CA+AP=8+5=13(cm),

t=13÷2=6.5(秒);

综上可知,当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时,BCP为等腰三角形.

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