题目内容
【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2cm,设运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,CP把△ABC的周长分成相等的两部分.
(2)当t为何值时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,并求出此时CP的长;(说明:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
(3)当t为何值时,△BCP为等腰三角形?
【答案】(1)6秒;(2)5cm;(3)当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时,△BCP为等腰三角形.
【解析】分析:(1)先由勾股定理求出△ABC的斜边AB=10cm,则△ABC的周长为24cm,所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时,点P在AB上,此时CA+AP=BP+BC=12cm,再根据时间=路程÷速度即可求解;
(2)根据中线的性质可知,点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,进而求解即可;
(3)△BCP为等腰三角形时,分三种情况进行讨论:①CP=CB;②BC=BP;③PB=PC.
详解:(1)△ABC中,∵∠C=Rt∠,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=10cm,
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm,
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时,点P在AB上,此时CA+AP=BP+BC=12cm,
∴t=12÷2=6(秒);
(2)当点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,此时CA+AP=8+5=13(cm),∴t=13÷2=6.5(秒),
∴CP=AB=×10=5cm;
(3)△BCP为等腰三角形时,分三种情况:
①如果CP=CB,那么点P在AC上,CP=6cm,此时t=6÷2=3(秒);
如果CP=CB,那么点P在AB上,CP=6cm,此时t=5.4(秒)
(点P还可以在AB上,此时,作AB边上的高CD,利用等面积法求得CD=4.8,再利用勾股定理求得DP=3.6,所以BP=7.2,AP=2.8,所以t=(8+2.8)÷2=5.4(秒))
②如果BC=BP,那么点P在AB上,BP=6cm,CA+AP=8+10-6=12(cm),此时t=12÷2=6(秒);
③如果PB=PC,那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处,即在AB的中点,此时CA+AP=8+5=13(cm),
t=13÷2=6.5(秒);
综上可知,当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时,△BCP为等腰三角形.