Question

如图，已知二次函数y=（x-m）²-4m²（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的基础上，设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．

Answer 1

（1）∵y=（x-m）²-4m²，
∴当y=0时，（x-m）²-4m²=0，
解得x₁=-m，x₂=3m，
∵m＞0，
∴A、B两点的坐标分别是（-m，0），（3m，0）；

（2）∵A（-m，0），B（3m，0），m＞0，
∴AB=3m-（-m）=4m，圆的半径为

1

2

AB=2m，
∴OM=AM-OA=2m-m=m，
∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，-2m），
又∵二次函数y=（x-m）²-4m²（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，-4m²），
∴-2m=-4m²，
解得m₁=

1

2

，m₂=0（舍去），
∴二次函数的解析式为y=（x-

1

2

）²-1，即y=x²-x-

3

4

；

（3）如图，连接CM．
在Rt△OCM中，∵∠COM=90°，CM=2m=2×

1

2

=1，OM=m=

1

2

，
∴OC=

CM2-OM2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴CD=2OC=

3

．