题目内容
已知，如图1，过点E（0，-1）作平行于x轴的直线l，抛物线y=
x2上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．
（1）求点A、B、F的坐标；
（2）求证：CF⊥DF；
（3）点P是抛物线y=
x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
| 1 |
| 4 |
（1）求点A、B、F的坐标；
（2）求证：CF⊥DF；
（3）点P是抛物线y=
| 1 |
| 4 |
（1）方法一：如图1，当x=-1时，y=
| 1 |
| 4 |
∴A（-1，
| 1 |
| 4 |
B（4，4）（2分）
设直线AB的解析式为y=kx+b（3分）
则
|
解得
|
∴直线AB的解析式为y=
| 3 |
| 4 |
当x=0时，y=1∴F（0，1）（5分）
方法二：求A、B两点坐标同方法一，如图2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分别为G、H，交y轴于点N
，则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形，设FO=x（3分）∵△BGF∽△BHA
∴
| BG |
| BH |
| FG |
| AH |
∴
| 4-x | ||
4-
|
| 4 |
| 5 |
解得x=1
∴F（0，1）（5分）
（2）证明：方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，
根据勾股定理得：CF2=CE2+EF2=12+22=5，
∴CF=
| 5 |
在Rt△DEF中，DE=4，EF=2
∴DF2=DE2+EF2=42+22=20
∴DF=2
| 5 |
由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）
∴CD=5
∴CD2=52=25
∴CF2+DF2=CD2（7分）
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF（8分）
方法二：由（1）知AF=
1+(
|
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
∴AF=AC（6分）
同理：BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC∥EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO（7分）
同理：∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF（8分）
（3）存在．
如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M（9分）
又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴
| PM |
| PQ |
| OM |
| OP |
| PQ |
| OP |
| PM |
| OM |
设P（x，
| 1 |
| 4 |
则PM=
| 1 |
| 4 |
①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，
| PQ |
| OP |
| CF |
| DF |
| ||
2
|
| 1 |
| 2 |
∴
| PM |
| OM |
| ||
| x |
| 1 |
| 2 |
解得x=2∴P1（2，1）（12分）
②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时，
| PQ |
| OP |
| DF |
| CF |
2
| ||
|
∴
| PM |
| OM |
| ||
| x |
解得x=8
∴P2（8，16）
综上，存在点P1（2，1）、P2（8，16）使得△OPQ与△CDF相似．（14分）
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