Question

已知二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，-

3

2

）．
（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；
（2）若反比例函数y₂=

2

x

（x＞0）的图象与二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内交于点A（x₀，y₀），x₀落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数y₂=

k

x

（x＞0，k＞0）的图象与二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内的交点A，点A的横坐标x₀满足2＜x₀＜3，试求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+3），
将（0，-

3

2

）代入，解得a=

1

2

．
∴抛物线解析式为y=

1

2

x²+x-

3

2

．


（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图象，
由图象可知，交点的横坐标x₀落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2．

（3）由函数图象或函数性质可知：当2＜x＜3时，
对y₁=

1

2

x²+x-

3

2

，y₁随着x增大而增大，
对y₂=

k

x

（k＞0），y₂随着x的增大而减小．
因为A（x₀，y₀）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，
所以当x₀=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y₂＞y₁，
即

k

2

＞

1

2

×2²+2-

3

2

，
解得k＞5．
同理，当x₀=3时，由二次函数图象在反比例上方得y₁＞y₂，
即

1

2

×3²+3-

3

2

＞

k

3

，
解k＜18，
所以K的取值范围为5＜k＜18．