题目内容

如图.已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
(1)求此二次函数关系式和点B的坐标;
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P.使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)把点A(4,0)代入二次函数有:
0=-16+4b+3
得:b=
13
4

所以二次函数的关系式为:y=-x2+
13
4
x+3.
当x=0时,y=3
∴点B的坐标为(0,3).

(2)如图:
作AB的垂直平分线交x轴于点P,连接BP,
则:BP=AP
设BP=AP=x,则OP=4-x,
在直角△OBP中,BP2=OB2+OP2
即:x2=32+(4-x)2
解得:x=
25
8

∴OP=4-
25
8
=
7
8

所以点P的坐标为:(
7
8
,0)
综上可得点P的坐标为(
7
8
,0).
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