Question

如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF．

（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，∶=1∶2，求⊙O的半径的长．

Answer 1

（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBO＝90°，再有OA＝OB，BA⊥PO于D，公共边PO可证得△PAO≌△PBO，即得∠PAO＝∠PBO＝90°，从而可以证得结论；（2）5

试题分析：（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBO＝90°，再有OA＝OB，BA⊥PO于D，公共边PO可证得△PAO≌△PBO，即得∠PAO＝∠PBO＝90°，从而可以证得结论；
（2）设AD＝x，根据∶=1∶2，即可表示出FD＝2x，OA＝OF＝2x－3，在Rt△AOD中，根据勾股定理即可列方程求解．
（1）如图，连接OB

∵PB是⊙O的切线
∴∠PBO＝90°
∵OA＝OB，BA⊥PO于D
∴AD＝BD，∠POA＝∠POB
又∵PO＝PO
∴△PAO≌△PBO
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∴直线PA为⊙O的切线；
（2）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6
∴OD＝BC＝3
设AD＝x
∵∶=1∶2
∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3
在Rt△AOD中，由勾股定理得(2x－3)²＝x²＋3²
解得x₁＝4，x₂＝0（不合题意，舍去）
∴AD＝4，OA＝2x－3＝5
即⊙O的半径的长5．
点评：解答本题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径，注意勾股定理在圆中的灵活应用.