题目内容
如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,CD⊥AB,垂足为点D,CF⊥AF,且CF=CD,AF交⊙O于点E,BE交AC于点M.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若AB=6,cos∠BCD=
,求AM的长.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若AB=6,cos∠BCD=
5 |
6 |
考点:切线的判定
专题:
分析:(1)连接O根据角平分线性质得出∠FAC=∠BAC,根据垂径定理得出OC⊥BE,求出∠CFE=∠FEB=∠ENC=90°,求出∠OCF=90°,根据切线判定推出即可.
(2)求出AC和BC,证△BCM和△CAB相似,得出比例式,求出CM,即可得出答案.
(2)求出AC和BC,证△BCM和△CAB相似,得出比例式,求出CM,即可得出答案.
解答:(1)证明:
连接OC交BE于N,
∵CF⊥AF,CD⊥AB,CF=CD,
∴∠FAC=∠DAC,
∴弧EC=弧BC,
∴OC⊥BE,
∵AB是直径,
∴∠EFC=∠FEN=∠ENC=90°,
∴∠FCO=360°-90°-90°-90°=90°,
即OC⊥CF,
∵OC为半径,
∴CF是⊙O的切线.
(2)解:∵AB是直径,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,∠BCD+∠CBA=90°,
∴∠BCD=∠CAB,
∵AB=6,cos∠BCD=
,
∴cos∠CAB=
=
,
∴AC=5,
由勾股定理得:BC=
=
,
∵弧CE=弧BC,
∴∠EAC=∠CBE=∠CAB,
即∠CBM=∠CAB,
∵∠ACB=∠ACB,
∴△CAB∽△CBM,
∴
=
,
∵BC=
,AC=5,
∴CM=
,
∴AM=AC-CM=5-
=
.
连接OC交BE于N,
∵CF⊥AF,CD⊥AB,CF=CD,
∴∠FAC=∠DAC,
∴弧EC=弧BC,
∴OC⊥BE,
∵AB是直径,
∴∠EFC=∠FEN=∠ENC=90°,
∴∠FCO=360°-90°-90°-90°=90°,
即OC⊥CF,
∵OC为半径,
∴CF是⊙O的切线.
(2)解:∵AB是直径,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,∠BCD+∠CBA=90°,
∴∠BCD=∠CAB,
∵AB=6,cos∠BCD=
5 |
6 |
∴cos∠CAB=
AC |
AB |
5 |
6 |
∴AC=5,
由勾股定理得:BC=
62-52 |
11 |
∵弧CE=弧BC,
∴∠EAC=∠CBE=∠CAB,
即∠CBM=∠CAB,
∵∠ACB=∠ACB,
∴△CAB∽△CBM,
∴
BC |
AC |
CM |
BC |
∵BC=
11 |
∴CM=
11 |
5 |
∴AM=AC-CM=5-
11 |
5 |
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5 |
点评:本题考查了切线的判定,角平分线性质,相似三角形的性质和判定,垂径定理,圆周角定理的应用,主要考查学生的推理能力,综合性比较强.
练习册系列答案
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如图,AB∥CD,DB⊥BC,∠1=40°,则∠BDC的度数是( )
A、40° | B、60° |
C、50° | D、140° |