Question

如图，是的直径，是上的两点，且

（1）求证：
（2）若将四边形分成面积相等的两个三角形，试确定四边形的形状.

Answer 1

（1）证明见解析（2）菱形

（1）证明：∵∴弧与弧相等，∴
又∵∴∴
∴································ 4分
（2）解：∵不妨设平行线与间的距离为
又
因为将四边形分成面积相等的两个三角形，即
∴································ 7分
∴四边形为平行四边形.
又∵∴四边形为菱形.
（1）首先由AC=CD得到弧AC与弧CD相等，然后得到∠ABC=∠CBD，而OC=OB，所以得到∠OCB=∠OBC，接着得到∠OCB=∠CBD，由此即可证明结论；
（2）首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC=BD，而后利用（1）的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形，再利用OC=OB即可证明四边形OBDC为菱形．