Question

已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切线．

Answer 1

（1）证法一：连结CD，      
　
∵BC为⊙O的直径
∴CD⊥AB                            
　　　 ∵AC＝BC
　　　 ∴AD＝BD．             
证法二：连结CD，    
　∵BC为⊙O的直径
∴∠ADC＝∠BDC＝90°
∵AC＝BC，CD＝CD
∴△ACD≌△BCD      
∴AD＝BD                      
（2）证法一：连结OD，     
　
　∵AD＝BD，OB＝OC
　　∴OD∥AC              
　　∵DE⊥AC 
∴DF⊥OD                     
　　∴DF是⊙O的切线．    
证法二：连结OD，  
　　　　∵OB=OD
　　　　∴∠BDO＝∠B            
　　　　∵∠B＝∠A
　　　　∴∠BDO=∠A       
　　　　∵∠A+∠ADE＝90°
　　　　∴∠BDO＋∠ADE＝90°
　　　　∴∠ODF=90°          
　　　　∴DF是⊙O的切线．   

（1）由于AC=AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD=BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得．
（2）连接OD，再证明OD⊥DE即可．