Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过（2，1）和（6，－5）两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，点P是在直线右侧的此抛物线上一点，过点P作PM轴，垂足为M. 若以A、P、M为顶点的三角形与△OCB相似，求点P的坐标；
（3）点E是直线BC上的一点，点F是平面内的一点，若要使以点O、B、E、F为顶点的四边形是菱形，请直接写出点F的坐标.

Answer 1

（1）抛物线的解析式为
（2）点P的坐标为（8，-14）或（5，-2）
（3）点F的坐标为（,）或（,）或（,）或（2,1）

试题分析：（1）由题意，得 
解这个方程组，得    ∴ 抛物线的解析式为.
（2）令，得.解这个方程，得.∴A（1,0），B（4,0），令，得．∴C（0,-2），设P（），因为，①当时，△OCB∽△MAP．∴，解这个方程，得（舍），∴点P的坐标为（8，-14）②当时，△OCB∽△MPA．∴，解这个方程，得（舍）．∴点P的坐标为（5，-2），∴点P的坐标为（8，-14）或（5，-2）
（3）先由确定点E的几个位置，再由E点确定F点的位置，推出点F的坐标为（,）或（,）或（,）或（2,1）
点评：本题难度一般，学生可以通过方程组的简单计算，求出函数解析式