Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，对于实数c、d，我们可用min{ c，d }表示c、d两数中较小的数，如min{3，}=.若关于x的函数y = min{，}的图象关于直线对称，试讨论其与动直线交点的个数。

Answer 1

（1）；（2）、；
（3）当时，动直线与函数图象无交点；
当时，动直线与函数图象有唯一的一个交点；
当时，动直线与函数图象有两个交点；
当时，动直线与函数图象有三个交点；
当时，动直线与函数图象有四个交点；
当时，动直线与函数图象有三个交点；
当时，动直线与函数图象有三个交点.

试题分析：（1）首先将已知的抛物线解析式进行配方，得出对称轴方程后结合A点坐标可确定B点的坐标，由OB=OC的条件能得到C点坐标，利用待定系数法即可确定函数的解析式．
（2）此题需要进行适当转化，首先作△ABC的外切圆，根据圆周角定理可知：P点应为抛物线对称轴与⊙E的交点，那么只需求出圆心E的坐标和⊙E的半径即可得到P点坐标．首先由A、B的坐标可确定F点的坐标以及AF的长，而弦BC的垂直平分线过点E，由此可确定该中垂线的解析式，进一步可确定点E的坐标；然后在Rt△AEF中，通过解直角三角形可得到圆的半径长，由此求出全部条件；
（3）由题意可知所求得的函数的解析式为，由函数图象分、、、、、、等情况分析.
（1）∵ ，
∴ 抛物线的对称轴为直线．
∵ 抛物线与x轴交于
点A、点B，点A的坐标为，
∴ 点B的坐标为，OB＝3．
可得该抛物线的解析式为．
∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴ OC=3，点C的坐标为．
将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．
∴ 此抛物线的解析式为．
（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.

可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．
∵、都是弧AB所对的圆周角，
∴，且射线FE上的其它点P都不满足．
由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．
∴ 点E的坐标为．
∴ 由勾股定理得 ．
∴ ．
∴ 点的坐标为．
由对称性得点的坐标为．
∴符合题意的点P的坐标为、.
（3）由题意可知，原二次函数的解析式为可得，
所求得的函数的解析式为
由函数图象可知：当时，动直线与函数图象无交点；
当时，动直线与函数图象有唯一的一个交点；
当时，动直线与函数图象有两个交点；
当时，动直线与函数图象有三个交点；
当时，动直线与函数图象有四个交点；
当时，动直线与函数图象有三个交点；
当时，动直线与函数图象有三个交点.
点评：这道二次函数题由于融合了圆、解直角三角形、轴对称图形等重点知识，难度较大；（2）中，将角相等转化为圆的相关问题是打开解题突破口的关键，应注意并总结转化思想在解题中的妙用．