Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P、Q为AB边及BC边上的两个动点。（1）若点P从点A沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两个点同时出发。
①经过几秒，△PBQ的面积等于8cm²；
②是否存在这样的时刻，使△PBQ的面积等于10 cm²？如果存在请求出来，如果不存在，请说明理由。
（2）假设点P、Q可以分别在AB、BC边上任意移动，是否存在PQ同时平分△ABC的周长和面积的情况？如果存在请求出BP的长度；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）2秒或4秒；（2）不存在，理由见解析；（3）不存在，理由见解析.

试题分析：（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b²-4ac来判断．
试题解析：（1）①设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：
BP=6-x，BQ=2x，
所以S_△PBQ=×（6-x）×2x=8，即x²-6x+8=0，
可得：x=2或4，
即经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8cm²．
②设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，S_△PBQ=×（6-y）×2y=10，
即y²-6y+10=0，
因为△=b²-4ac=36-4×10=-4＜0，所以△PBQ的面积不会等于10cm²．
（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的周长和面积，△PBQ的周长和面积等于12cm²，S△_PBQ=×（6-y）×2y=12，
即y²-6y+12=0，
因为△=b²-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ的面积不会等于12cm²，则线段PQ不能平分△ABC的面积．