Question

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=

3

，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax²+bx+c过点A，E，D．
（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）点E在y轴上
理由如下：
连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，∵AB=1，BO=

3

，
∴AO=2∴sin∠AOB=

1

2

，∴∠AOB=30°
由题意可知：∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°
∵点B在x轴上，∴点E在y轴上．

（2）过点D作DM⊥x轴于点M，
∵OD=1，∠DOM=30°
∴在Rt△DOM中，DM=

1

2

，OM=

3

2

∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为(

3

2

，

1

2

)
由（1）知EO=AO=2，点E在y轴的正半轴上
∴点E的坐标为（0，2）
∴点A的坐标为（-

3

，1）
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点E，
∴c=2
由题意，将A（-

3

，1），D（

3

2

，

1

2

）代入y=ax²+bx+2中，
得

3a- 3 b+2=1 3 4 a+ 3 2 b+2= 1 2

解得

a=- 8 9 b=- 5 3 9

∴所求抛物线表达式为：y=-

8

9

x²-

5 3

9

x+2

（3）存在符合条件的点P，点Q．
理由如下：∵矩形ABOC的面积=AB•BO=

3

∴以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为2

3

．
由题意可知OB为此平行四边形一边，
又∵OB=

3

∴OB边上的高为2
依题意设点P的坐标为（m，2）
∵点P在抛物线y=-

8

9

x²-

5 3

9

x+2上
∴-

8

9

m²-

5 3

9

m+2=2
解得，m₁=0，m₂=-

5 3

8

∴P₁（0，2），P₂（-

5 3

8

，2）
∵以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=

3

，
∴当点P₁的坐标为（0，2）时，点Q的坐标分别为Q₁（-

3

，2），Q₂（

3

，2）；
当点P₂的坐标为（-

5 3

8

，2）时，点Q的坐标分别为Q₃（-

13 3

8

，2），Q₄（

3 3

8

，2）．