Question

如图，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，设∠ABD=α，已知sinα是方程25x²-35x+12=0的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，EC+CF=8，设BE=x，△AEF的面积等于y．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当E，F两点在什么位置时，y有最小值并求出这个最小值．

Answer 1

（1）解方程可得sinα₁=

3

5

或sinα₂=

4

5

，
∵AD＞AB，
∴sinα=

3

5

，舍去
取sinα=

4

5

，则有AD=16，AB=12
∵BE=x，
∴EC=16-x，FC=8-EC=x-8，DF=12-FC=20-x．
则△AEF的面积y=16×12-

1

2

×12x-

1

2

×16（20-x）-

1

2

（16-x）（x-8）
=

1

2

x²-10x+96（8＜x＜16）．

（2）y=

1

2

x²-10x+96=

1

2

（x-10）²+46，
所以当x=10，即BE=10，CF=2时，y有最小值为46．