Question

已知抛物线y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（C在B的左边）．
（1）过A、O、B三点作⊙M，求⊙M的半径；
（2）点P为弧OAB上的动点，当点P运动到何位置时△OPB的面积最大？求出此时点P的坐标及△OPB的最大面积．

Answer 1

（1）∵抛物线y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（C在B的左边），
∴y=0时，0=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

，
整理得出：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
当x=0，则y=

3

，
由题意可得：A（0，

3

），B（3，0），C（1，0），
∴OA=

3

，OB=3，
连接AB，∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴AB=2

3

，
∴⊙M的半径为

3

；

（2）在△AOB中，∵OA=

3

，OB=3，∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=

3

3

=

3

，
∴∠OAB=60°，
∵点P为弧OAB上的动点，
∴∠OPB=60°，
∵OB=3是定值，要使△OPB面积最大，只要使OB边上的高最大，
即点P到OB边的距离最大，
∴点P为为弧OAB的中点，此时为△OPB为等边三角形，
且边长为3，
过点P作PT⊥OB于点T，
根据题意得出：OT=

3

2

，PT=

3 3

2

，
∴P（

3

2

，

3 3

2

），△OPB的最大面积为：

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

．