题目内容

如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，抛物线y=-
2
3
x2+bx+c经过点A，B，交正x轴于点D，E是OC上的动点（不与C重合）连接EB，过B点作BF⊥BE交y轴与F
（1）求b，c的值及D点的坐标；
（2）求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；
（3）连接EF，BD，设OE=m，△BEF与△BED的面积之差为S，问：当m为何值时S最小，并求出这个最小值．
（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=-
2
3
x2+bx+c得
c=2
-
8
3
+2b+c=2

解得b=
4
3
，c=2；
∴y=-
2
3
x2+
4
3
x+2；
令-
2
3
x2+
4
3
x+2=0
解得x1=-1，x2=3
∴D点坐标为（3，0）．
（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；
∵四边形OABC是正方形
∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°
又∵BF⊥BE
∴∠FBE=90°
∴∠ABF=∠CBE
∴△ABF≌△BCE
∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．
（3）如图，

可以看出S△BEF=S梯形OCBF-S△OEF-S△BEC
=
1
2
（2+2+m）×2-
1
2
m（2+m）-
1
2
（2-m）×2
=-
1
2
m2+m+2
S△BED=
1
2
×（3-m）×2
=3-m
两个三角形的面积差最小为0，
即3-m=-
1
2
m2+m+，
解得m=2±
2
，
∵E是OC上的动点
∴m=2-
2
，
当m=2-
2
时S最小为0．
练习册系列答案
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S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
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，直线y=
3
x-2
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经过点C，交y轴于点G．
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（2）求顶点在直线y=
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x-2
3
上且经过点C、D的抛物线的解析式；
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x-2
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，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．
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