Question

如图，△ABC中，AB=AC=BC，P为三角形内一点，PA=2，PB=1，PC=

3

，△ABC的面积是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：首先将△ABP以A为旋转中心，逆时针旋转60°得到△ACD，易得△APD是等边三角形，△PCD是直角三角形，继而求得∠APC=90°，由勾股定理，可求得AC的长，继而求得答案．

解答：解：将△ABP以A为旋转中心，逆时针旋转60°得到△ACD，
∵AP=AD，∠PAD=60°，CD=PB=1，AD=PA=2，
∴△PAD是等边三角形，
∴∠APD=60°，PD=PA=2，
∵PC=

3

，
∴PC²+CD²=PD²，
∴△PCD是直角三角形，且∠PCD=90°，
∴sin∠CPD=

CD

PD

=

1

2

，
∴∠CPD=30°，
∴∠APC=∠APD+∠CPD=90°，
∴AC=

PA2+PC2

=

7

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•ACsin60°=

1

2

×

7

×

7

×

3

2

=

7 3

4

．
故答案为：

7 3

4

．

点评：此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．