题目内容
已知正方形ABCD如图所示,连接其对角线AC,∠BCA的平分线CF交AB于点F,过点B作BM⊥CF于点N,交AC于点M,过点C作CP⊥CF,交AD延长线于点P.
(1)若正方形ABCD的边长为4,求△ACP的面积;
(2)求证:CP=BM+2FN.
(1)若正方形ABCD的边长为4,求△ACP的面积;
(2)求证:CP=BM+2FN.
考点:正方形的性质,全等三角形的判定与性质
专题:压轴题
分析:(1)根据等角对等边易证AP=AC,根据勾股定理求得AC的长,然后根据三角形的面积公式即可求解;
(2)易证△PDC≌△FBC则CP=CF,在CN上截取NH=FN,连接BH,则可以证明△AMB≌BHC,得到CH=BM,即可证得.
(2)易证△PDC≌△FBC则CP=CF,在CN上截取NH=FN,连接BH,则可以证明△AMB≌BHC,得到CH=BM,即可证得.
解答:解:∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,
∴∠1=∠2=22.5°,
又∵CP⊥CF,
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形,
∴∠ACP=45+22.5=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=
AB=4
∴AP=4
,
∴S△APC=
AP•CD=
×4
×4=8
;
(2)∵在△PDC和△FBC中,
∴△PDC≌△FBC
∴CP=CF
在CN上截取NH=FN,连接BH
∵FN=NH,且BN⊥FH
∴BH=BF
∴∠4=∠5
∴∠4=∠1=∠5=22.5°
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°
∴∠HBC=∠BAM=45°
在△AMB和△BHC中,
,
∴△AMB≌△BHC,
∴CH=BM
∴CF=BM+2FN
∴CP=BM+2FN.
∴∠1=∠2=22.5°,
又∵CP⊥CF,
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形,
∴∠ACP=45+22.5=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=
2 |
2 |
∴AP=4
2 |
∴S△APC=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
(2)∵在△PDC和△FBC中,
|
∴△PDC≌△FBC
∴CP=CF
在CN上截取NH=FN,连接BH
∵FN=NH,且BN⊥FH
∴BH=BF
∴∠4=∠5
∴∠4=∠1=∠5=22.5°
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°
∴∠HBC=∠BAM=45°
在△AMB和△BHC中,
|
∴△AMB≌△BHC,
∴CH=BM
∴CF=BM+2FN
∴CP=BM+2FN.
点评:本题是正方形的性质,全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用,正确作出辅助线是关键.
练习册系列答案
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下列说法正确的是( )
A、一个五角星图案平移后,有可能会缩小 |
B、线段a=b,则线段b可以看成是由线段a平移得到的 |
C、若线段a平移后得到线段b,则a=b |
D、线段a∥b,则线段b可以看成是由线段a平移得到的 |