Question

已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．．
（1）仔细观察图形并写出四个不同类型的正确结论：①

 

，②

 

，
③

 

，④

 

（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求△BDE的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：（1）由BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，可得AD⊥BD，AB⊥BC，继而由DE⊥AB，可得DE∥BC，由垂径定理，易得BD=BE，

BD

=

BE

等；
（2）由AB为直径，∠A=30°，⊙O的半径为2，根据直角三角形的性质，易求得BD的长，继而由垂径定理与勾股定理即可求得答案．

解答：解：（1）①AD⊥BD，（BC⊥AB），（∠ADB=∠ABC=90°）；②DE∥BC；③∠BDE=∠E=∠A=∠CBD；④BD=BE，DF=EF，⑤△BFD≌△BFE；⑥

AD

=

AE

，

BD

=

BE

，⑦S_△DBF=S_△EBF 等．
故答案为：①AD⊥BD，②DE∥BC，③BD=BE，④

BD

=

BE

；

（2）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴AB=4，
∵∠A=30°，
∴BD=

1

2

AB=2AD=

AB2-BD2

=

42-22

=2

3

，
∵AB⊥DE，
DF=EF=

1

2

DE，
在Rt△ADF中，∠A=30°，
∴DF=

1

2

AD=

3

DE=2

3

AF=

AD2-DF2

=

(2 3 )2-( 3

)2=3，BF=AB-AF=4-3=1，
∴S△BDE=

1

2

DE•BF=

1

2

×2

3

×1=

3

．

点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．